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地球公转的角速度 地球自转角速度

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地球自转角速度（地球公转的角速度）
来源：刘延柱科学网博客，作者：刘延柱 。
01
傅科摆和傅科陀螺


1851年，法国物理学家傅科 (Foucault, J.) 在巴黎先贤祠大厅的穹顶上悬挂了一条67m长的绳索，下端连接一个28kg的摆锤（图1、图2），这个著名的傅科摆是人类为证明地球自转的首次实验 。虽然哥白尼 (Copernivus, N.) 的日心学说早在16世纪就已提出，但人们仍无法通过自己的感官直接意识到地球的运动 。


图1 傅科 (J.Foucault, 1819-1868)


图2 傅科摆实验


1602年，伽利略 (Galilei, G.) 已对单摆的规律有了深入的认识 。单摆的摆动是平面运动，摆动平面在惯性空间内维持方位不变 。如地球有自转运动，摆动平面相对地球就会发生偏转 。地球绕极轴每昼夜自转一周，自转角速度e 每小时逆时针转动 150 。巴黎的纬度 为北纬48.52，地球绕巴黎地垂线的角速度为esin，即大约每小时11.24 。将摆长l=67m，重力加速度g=9.8m/s 代入单摆的周期公式，T=2(l/g)1/2=16.4s 。每摆动一次，摆动平面应相对地球顺时针转过约3角分 。实验验证了傅科的预言引起极大轰动 。


完成傅科摆实验的第二年，傅科于1852年在巴黎科学院进行了另一次实验 。他展示了一台由细线悬挂着装有转子的圆环构成的新仪器，转子的旋转轴可自由改变方向（图3） 。让转子的旋转轴沿子午线朝北保持水平，无力矩作用时，旋转轴应保持惯性空间中的指向不变 。如地球逆时针转动，地球上的观测者应能看到旋转轴相对地球的顺时针偏转，从而再次证明地球自转（图4） 。但实验并未获得预期结果，两个重要原因导致失败 。其一，转子的转速太低；其二，悬线的扭矩严重阻碍了转子的运动 。实验虽未成功百思特网却具有重要意义，因为这台不够完善的仪器是历史上第一台具有科学意义的陀螺仪 (gyroscope) 。


图3 傅科的陀螺仪


02
能指北的傅科陀螺仪


陀螺仪是由外环、内环（或内含转子的壳体）和转子组成的系统 。以陀螺的质心O 为原点建立 (O-xyz) 坐标系 。x 轴为外环转轴，y 轴为内环转轴，z 轴为转子极轴，是转子的旋转轴 。外环的转角为，内环绕外环的转角为（图4） 。以i、j、k 表示各坐标轴的基矢量 。若转子的极惯性矩为C，绕z 轴快速旋转的角速度为 0，则动量矩L=C0k 。分析陀螺转子的进动时，缓慢转动的内外环的动量矩可略去不计 。以O 为原点建立与地球固结的地理坐标系 (O-XEN)，其中，X 轴沿地垂线向上，E 轴沿纬线向东，N 轴沿子午线向北（图5） 。将陀螺仪的外环轴x 沿垂直轴X 安放在地球上 。先假设内环相对外环固定的简化情形，令=0 。因转子的旋转轴z 轴仅剩一个自由度，称为单自由度傅科陀螺仪 。


图4 内外环支承的陀螺仪


图5 地理坐标系


旋转物体的旋转轴在力矩作用下改变方向的运动称为进动，刚体进动产生的惯性力矩称为陀螺力矩 。地球是绕极轴Z0 以角速度e 自转的转动坐标系，设安装处的纬度为，以X0、E0、N2表示 (O-XEN) 各坐标轴的基矢量，令1=ecos，2=esin，则e=2X0+1N0 。设初始时 (O-xyz) 与 (O-XEN) 重合，转子的极轴z 指北 。随后框架绕x 轴逆时针转过 角，使极轴偏离子午线 。因框架绕X 轴可自由转动不受约束，e 沿X 轴的分量2X0 不可能传递给转子 。只有沿N 轴的分量1N0 可通过轴承的约束力作用于转子使其进动，产生沿x 轴的陀螺力矩 Mc=L1N0 。仅保留 的一阶小量，将N0=j+k 代入后，导出


此力矩与框架的偏转方向相反，促使框架与极轴绕x 轴回归到子午线位置 。回归过程中转子的动量矩L 沿y 轴变化所需要的外力矩，由轴承的约束提供 。以上分析表明，单自由度傅科陀螺仪具有指北的能力 。

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