2017年北京高考数学模拟试题（含答案）
一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合M={x|x2=x}，N={﹣1，0，1}，则M∩N=（）
A．{﹣1，0，1} B．{0，1} C．{1} D．{0}
2．下列函数中为偶函数的是（）
A．y=x2sinx B．y=2﹣x C．y= D．y=|log0.5x|
3．执行如图所示的程序框图，则输出的S值为（）
A．1 B．3 C．7 D．15
4．在极坐标系中圆ρ=2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为（）
A．θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=2 B．θ=（ρ∈R）和ρcosθ=2
C．θ=（ρ∈R）和ρcosθ=1 D．θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=1
5．设为两个非零向量，则“?=|?|”是“与共线”的（）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．设不等式组表示的平面区域为D，若函数y=logax（a＞1）的图象上存在区域D上的点，则实数a的取值范围是（）
A．（1，3] B．[3，+∞） C．（1，2] D．[2，+∞）
7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的四个面中，面积最大的面的面积是（）
A． B． C．D．
8．已知函数f（x）满足如下条件：①任意x∈R，有f（x）+f（﹣x）=0成立；②当x≥0时，f（x）=（|x﹣m2|+|x﹣2m2|﹣3m2）；③任意x∈R，有f（x）≥f（x﹣1）成立．则实数m的取值范围（）
A．B．C．D．
二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）
9．复数Z=i（1+i）在复平面内对应的点的坐标为．
10．抛物线y2=8x的焦点到双曲线的渐近线的距离是．
11．在锐角△ABC中，角A、B所对的边长分别为a、b，若2asinB=b，则角A等于．
12．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2an﹣2，若数列{bn}满足bn=10﹣log2an，则使数列{bn}的前n项和取最大值时的n的值为．
13．小明、小刚、小红等5个人排成一排照相合影，若小明与小刚相邻，且小明与小红不相邻，则不同的排法有种．
14．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，长度为2的线段MN的一个端点M在棱DD1上运动，另一个端点N在正方形ABCD内运动，则MN中点的轨迹与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的表面所围成的较小的几何体的体积等于．
三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．已知函数（ω＞0）的最小正周期为π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间．
16．如图1，在直角梯形ABCP中，CP∥AB，CP⊥CB，AB=BC=CP=2，D是CP的中点，将△PAD沿AD折起，使得PD⊥CD．
（Ⅰ）若E是PC的中点，求证：AP∥平面BDE；
（Ⅱ）求证：平面PCD⊥平面ABCD；
（Ⅲ）求二面角A﹣PB﹣C的大小．
17．某公司准备将1000万元资金投入到市环保工程建设中，现有甲、乙两个建设项目选择，若投资甲项目一年后可获得的利润ξ1（万元）的概率分布列如表所示：
ξ1
110
120
170
P
m
0.4
n
且ξ1的期望E（ξ1）=120；若投资乙项目一年后可获得的利润ξ2（万元）与该项目建设材料的成本有关，在生产的过程中，公司将根据成本情况决定是否在第二和第三季度进行产品的价格调整，两次调整相互独立且调整的概率分别为p（0＜p＜1）和1﹣p．若乙项目产品价格一年内调整次数X（次数）与ξ2的关系如表所示：
X
0
1
2
ξ2
41.2
117.6
204.0
（Ⅰ）求m，n的值；
（Ⅱ）求ξ2的分布列；
（Ⅲ）若该公司投资乙项目一年后能获得较多的利润，求p的取值范围．
18．已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程和长轴长；
（Ⅱ）设F为椭圆C的左焦点，P为直线x=﹣3上任意一点，过点F作直线PF的垂线交椭圆C于M，N，记d1，d2分别为点M和N到直线OP的距离，证明：d1=d2．资*源%库
19．已知函数．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）与直线y=kx相切于点P，求点P的坐标；
（Ⅱ）当a≤e时，证明：当x∈（0，+∞），f（x）≥a（x﹣lnx）．
20．已知数集A={a1，a2，…，an}（1=a1＜a2＜…＜an，n≥2）具有性质P：对任意的k（2≤k≤n），?i，j（1≤i≤j≤n），使得ak=ai+aj成立．
（Ⅰ）分别判断数集{1，3，4}与{1，2，3，6}是否具有性质P，并说明理由；
（Ⅱ）求证：an≤2a1+a2+…+an﹣1（n≥2）；
（Ⅲ）若an=72，求数集A中所有元素的和的最小值．
2017年北京高考数学模拟试题（含答案）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合M={x|x2=x}，N={﹣1，0，1}，则M∩N=（）
A．{﹣1，0，1} B．{0，1} C．{1} D．{0}
【考点】交集及其运算．
【分析】求出M中方程的解确定出M，找出M与N的交集即可．
【解答】解：由M中方程变形得：x（x﹣1）=0，
解得：x=0或x=1，即M={0，1}，
∵N={﹣1，0，1}，
∴M∩N={0，1}．
故选：B．
2．下列函数中为偶函数的是（）
A．y=x2sinx B．y=2﹣x C．y= D．y=|log0.5x|
【考点】函数奇偶性的判断．
【分析】利用奇偶函数的定义，进行判断即可．
【解答】解：对于A，f（﹣x）=（﹣x）2sin（﹣x）=﹣x2sinx，是奇函数；
对于B，非奇非偶函数；
对于C，f（﹣x）==，是偶函数；
对于D，非奇非偶函数．
故选C．
3．执行如图所示的程序框图，则输出的S值为（）
A．1 B．3 C．7 D．15
【考点】程序框图．
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加S=0+20+21+22+23的值，并输出．
【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：
该程序的作用是累加S=0+20+21+22+23的值
∵S=0+20+21+22+23=15，
故选D．
4．在极坐标系中圆ρ=2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为（）
A．θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=2 B．θ=（ρ∈R）和ρcosθ=2
C．θ=（ρ∈R）和ρcosθ=1 D．θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=1
【考点】简单曲线的极坐标方程；圆的切线方程．
【分析】利用圆的极坐标方程和直线的极坐标方程即可得出．
【解答】解：如图所示，在极坐标系中圆ρ=2cosθ是以（1，0）为圆心，1为半径的圆．
故圆的两条切线方程分别为（ρ∈R），ρcosθ=2．
故选B．
5．设为两个非零向量，则“?=|?|”是“与共线”的（）WWW.ziyuanku.com
A．充分而不必要条件 B．必要而不充要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】根据充分条件和必要条件的定义，利用向量共线的等价条件，即可得到结论．
【解答】解：若?=|?|，
则||?||cos＜，＞=|||||cos＜，＞|，即cos＜，＞=|cos＜，＞|，则cos＜，＞≥0，则与共线不成立，即充分性不成立．
若与共线，当＜，＞=π，cos＜，＞=﹣1，此时?=|?|不成立，即必要性不成立，
故“?=|?|”是“与共线”的既不充分也不必要条件，
故选：D．
6．设不等式组表示的平面区域为D，若函数y=logax（a＞1）的图象上存在区域D上的点，则实数a的取值范围是（）
A．（1，3] B．[3，+∞） C．（1，2] D．[2，+∞）
【考点】简单线性规划．
【分析】结合二元一次不等式（组）与平面区域的关系画出其表示的平面区域，再利用函数y=logax（a＞1）的图象特征，结合区域的角上的点即可解决问题．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由a＞1，对数函数的图象经过可行域的点，满足条件，
由，解得A（3，1），
此时满足loga3≤1，解得a≥3，
∴实数a的取值范围是：[3，+∞），
故选：B．
7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的四个面中，面积最大的面的面积是（）
A． B． C． D．
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】根据几何体的三视图知该几何体是三棱锥，由三视图求出几何体的棱长、并判断出线面的位置关系，由勾股定理、余弦定理、三角形的面积公式求出各个面的面积，即可得几何体的各面中面积最大的面的面积．
【解答】解：根据几何体的三视图知，该几何体是三棱锥P﹣ABC，
直观图如图所示：由图得，PA⊥平面ABC，
，，，，
则，
在△PBC中，，
由余弦定理得：，
则，所以，
所以三棱锥中，面积最大的面是△PAC，其面积为，
故选B．
8．已知函数f（x）满足如下条件：①任意x∈R，有f（x）+f（﹣x）=0成立；②当x≥0时，f（x）=（|x﹣m2|+|x﹣2m2|﹣3m2）；③任意x∈R，有f（x）≥f（x﹣1）成立．则实数m的取值范围（）
A．B．C．D．
【考点】抽象函数及其应用．
【分析】化简f（x）在[0，+∞）上的解析式，根据f（x）的奇偶性做出函数图象，根据条件③得出不等式解出．
【解答】解：∵f（x）+f（﹣x）=0，∴f（x）是奇函数．
当m=0时，f（x）=x，显然符合题意．
当m≠0时，f（x）在[0，+∞）上的解析式为：f（x）=，
做出f（x）的函数图象如图所示：
∵任意x∈R，有f（x）≥f（x﹣1）成立，
∴6m2≤1，解得﹣≤m≤．
故选A．
2017年北京高考数学模拟试题（含答案）
二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）
9．复数Z=i（1+i）在复平面内对应的点的坐标为 （﹣1，1） ．
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．
【解答】解：Z=i（1+i）=i﹣1在复平面内对应的点的坐标为（﹣1，1）．
故答案为：（﹣1，1）
10．抛物线y2=8x的焦点到双曲线的渐近线的距离是．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】求出抛物线y2=8x的焦点坐标、双曲线的渐近线，即可求出结论．
【解答】解：抛物线y2=8x的焦点（2，0）到双曲线的渐近线y=x的距离是d==，
故答案为．
11．在锐角△ABC中，角A、B所对的边长分别为a、b，若2asinB=b，则角A等于 60° ．
【考点】正弦定理．
【分析】已知等式利用正弦定理化简，根据sinB不为0求出sinA的值，再由A为锐角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．
【解答】解：利用正弦定理化简已知等式得：2sinAsinB=sinB，
∵sinB≠0，
∴sinA=，
∵A为锐角，
∴A=60°．
故答案为：60°．
12．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2an﹣2，若数列{bn}满足bn=10﹣log2an，则使数列{bn}的前n项和取最大值时的n的值为 9或10 ．
【考点】数列的求和．
【分析】Sn=2an﹣2，n=1时，a1=2a1﹣2，解得a1．n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，再利用等比数列的通项公式可得an．令bn≥0，解得n，即可得出．
【解答】解：∵Sn=2an﹣2，∴n=1时，a1=2a1﹣2，解得a1=2．
n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2﹣（2an﹣1﹣2），∴an=2an﹣1．
∴数列{an}是等比数列，公比为2．
∴an=2n．
∴bn=10﹣log2an=10﹣n．
由bn=10﹣n≥0，解得n≤10．
∴使数列{bn}的前n项和取最大值时的n的值为9或10．
故答案为：9或10．
13．小明、小刚、小红等5个人排成一排照相合影，若小明与小刚相邻，且小明与小红不相邻，则不同的排法有 36 种．
【考点】排列、组合的实际应用．
【分析】根据题意，分2种情况讨论：①、小刚与小红不相邻，②、小刚与小红相邻，由排列、组合公式分别求出每一种情况的排法数目，由分类加法原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：
①、小刚与小红不相邻，
将除小明、小刚、小红之外的2人全排列，有A22种安排方法，排好后有3个空位，
将小明与小刚看成一个整体，考虑其顺序，有A22种情况，
在3个空位中，任选2个，安排这个整体与小红，有A32种安排方法，
有A22×A32×A22=24种安排方法；
②、小刚与小红相邻，
则三人中小刚在中间，小明、小红在两边，有A22种安排方法，将三人看成一个整体，
将整个整体与其余2人进行全排列，有A33种安排方法，
此时有A33×A22=12种排法，
则共有24+12=36种安排方法；
故答案为：36．
14．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，长度为2的线段MN的一个端点M在棱DD1上运动，另一个端点N在正方形ABCD内运动，则MN中点的轨迹与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的表面所围成的较小的几何体的体积等于．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】根据题意，连接ND，得到一个直角三角形△NMD，P为斜边MN的中点，则|PD|的长度不变，进而得到点P的轨迹是球面的一部分，求出球的半径，代入球的体积公式计算．
【解答】解：如图可得，端点N在正方形ABCD内运动，连接ND，
由ND，DM，MN构成一个直角三角形，
设P为MN的中点，根据直角三角形斜边上的中线长度为斜边的一半可得，
不论△MDN如何变化，P点到D点的距离始终等于1．
故P点的轨迹是一个以D为中心，半径为1的球的．
其体积V=××π×13=．
故答案为：．
三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．已知函数（ω＞0）的最小正周期为π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．
【分析】（Ⅰ）利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求ω的值
（Ⅱ）将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；
【解答】解：（Ⅰ） ===．
∵f（x）的最小正周期为π，且ω＞0，
从而有，故ω=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
令，k∈Z，
∴有，k∈Z，
解得，k∈Z．
故得f（x）的单调递增区间为，k∈Z．
16．如图1，在直角梯形ABCP中，CP∥AB，CP⊥CB，AB=BC=CP=2，D是CP的中点，将△PAD沿AD折起，使得PD⊥CD．
（Ⅰ）若E是PC的中点，求证：AP∥平面BDE；
（Ⅱ）求证：平面PCD⊥平面ABCD；
（Ⅲ）求二面角A﹣PB﹣C的大小．
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．
【分析】（Ⅰ）连接AC交BD于点O，连接OE，推导出OE∥AP，由此能证明AP∥平面BDE．
（Ⅱ）推导出AD⊥PD，AD⊥CD，从而AD⊥平面PCD，由此能证明平面PCD⊥平面ABCD．
（Ⅲ）以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣PB﹣C的大小．
【解答】证明：（Ⅰ）连接AC交BD于点O，连接OE，
在正方形ABCD中，O为AC的中点，又因为E为PC的中点，
所以OE为△PAC的中位线，
所以OE∥AP，
又因为OE?平面BDE，AP?平面BDE，
所以AP∥平面BDE．
（Ⅱ）由已知可得AD⊥PD，AD⊥CD，
又因为PD∩CD=D，PD，CD?平面PCD，
所以AD⊥平面PCD，
又因为AD?平面ABCD，
所以平面PCD⊥平面ABCD．
解：（Ⅲ）由（Ⅱ）知AD⊥平面PCD，所以AD⊥PD，又因为PD⊥CD，且AD∩CD=D，
所以PD⊥平面ABCD，
所以以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则P（0，0，2），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），
所以，，
设平面APB的一个法向量为，
所以即
令a=1，则c=1，从而，
同理可求得平面PBC的一个法向量为，
设二面角A﹣PB﹣C的大小为θ，易知，
所以，所以，
所以二面角A﹣PB﹣C的大小为．
17．某公司准备将1000万元资金投入到市环保工程建设中，现有甲、乙两个建设项目选择，若投资甲项目一年后可获得的利润ξ1（万元）的概率分布列如表所示：
ξ1
110
120
170
P
m
0.4
n
且ξ1的期望E（ξ1）=120；若投资乙项目一年后可获得的利润ξ2（万元）与该项目建设材料的成本有关，在生产的过程中，公司将根据成本情况决定是否在第二和第三季度进行产品的价格调整，两次调整相互独立且调整的概率分别为p（0＜p＜1）和1﹣p．若乙项目产品价格一年内调整次数X（次数）与ξ2的关系如表所示：
X
0
1
2
ξ2
41.2
117.6
204.0
（Ⅰ）求m，n的值；
（Ⅱ）求ξ2的分布列；
（Ⅲ）若该公司投资乙项目一年后能获得较多的利润，求p的取值范围．
【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．
【分析】（Ⅰ）由离散型随机变量的分布列及数学期望的性质列出方程组，能求出m，n的值．
（Ⅱ）ξ2的可能取值为41.2，117.6，204，分虽求出相应的概率，由此能求出ξ2的分布列．
（Ⅲ）求出可得E（ξ2），由于该公司投资乙项目一年后能获得较多的利润，从而E（ξ2）＞E（ξ1），由此能求出p的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）由题意得，
解得m=0.5，n=0.1．
（Ⅱ）ξ2的可能取值为41.2，117.6，204，
P（ξ2=41.2）=（1﹣p）[1﹣（1﹣p）]=p（1﹣p），
，
P（ξ2=204）=p（1﹣p），
所以ξ2的分布列为：
ξ2
41.2
117.6
204
P
p（1﹣p）
p2+（1﹣p）2
p（1﹣p）
（Ⅲ）由（Ⅱ）可得，
由于该公司投资乙项目一年后能获得较多的利润，
所以E（ξ2）＞E（ξ1），
所以﹣10p2+10p+117.6＞120，
解得0.4＜p＜0.6，所以p的取值范围是（0.4，0.6）．
2017年北京高考数学模拟试题（含答案）
18．已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程和长轴长；资*源%库
（Ⅱ）设F为椭圆C的左焦点，P为直线x=﹣3上任意一点，过点F作直线PF的垂线交椭圆C于M，N，记d1，d2分别为点M和N到直线OP的距离，证明：d1=d2．
【考点】直线与椭圆的位置关系．
【分析】（Ⅰ）由椭圆的性质可知：c=2，=2b，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求得直线MN的方程，代入椭圆方程，由韦达定理及中点坐标公式可知求得MN的中点T，由kOT=kOP，由三角形全等的判定和性质可知：d1=d2．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可知椭圆的焦点在x轴上，2c=4，c=2，=2b，
由a2=b2+c2，解得a2=6，b2=2，
∴椭圆C的标准方程为，椭圆C的长轴长为．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知点F的坐标为（﹣2，0），设点P的坐标为（﹣3，m），
则直线PF的斜率，
当m≠0时，直线MN的斜率，直线MN的方程是x=my﹣2，
当m=0时，直线MN的方程是x=﹣2，也符合x=my﹣2的形式，
设M（x1，y1），N（x2，y2），将直线MN的方程与椭圆C的方程联立，
得，消去x，得（m2+3）y2﹣4my﹣2=0，
其判别式△=16m2+8（m2+3）＞0，
所以，，，
设T为线段MN的中点，则点T的坐标为，
所以直线OT的斜率，
又直线OP的斜率，
所以点T在直线OP上，
由三角形全等的判定和性质可知：d1=d2．
19．已知函数．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）与直线y=kx相切于点P，求点P的坐标；
（Ⅱ）当a≤e时，证明：当x∈（0，+∞），f（x）≥a（x﹣lnx）．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（Ⅰ）设点P的坐标为（x0，y0），，由题意列出方程组，能求出点P的坐标．
（Ⅱ）设函数g（x）=f（x）﹣a（x﹣lnx）=，，x∈（0，+∞），设h（x）=ex﹣ax，x∈（0，+∞），则h'（x）=ex﹣a，由此利用分类讨论和导数性质能证明：当x∈（0，+∞），f（x）≥a（x﹣lnx）．
【解答】解：（Ⅰ）设点P的坐标为（x0，y0），，
由题意知解得x0=2，所以，
从而点P的坐标为．
证明：（Ⅱ）设函数g（x）=f（x）﹣a（x﹣lnx）=，
，x∈（0，+∞），
设h（x）=ex﹣ax，x∈（0，+∞），则h'（x）=ex﹣a，
①当a≤1时，因为x＞0，所以ex＞1，所以h'（x）=ex﹣a＞0，
所以h（x）在区间（0，+∞）上单调递增，所以h（x）＞h（0）=1＞0；
②当1＜a≤e时，令h'（x）=0，则x=lna，
所以x∈（0，lna），h'（x）＜0；x∈（lna，+∞），h'（x）＞0．
所以h（x）≥h（lna）=a（1﹣lna）≥0，
由①②可知：x∈（0，+∞）时，有h（x）≥0，
所以有：
x
（0，1）
1
（1，+∞）
g'（x）
﹣
0
+
g（x）
↓
极小值
↑
所以g（x）min=g（1）=e﹣a≥0，从而有当x∈（0，+∞）时，f（x）≥a（x﹣lnx）．
20．已知数集A={a1，a2，…，an}（1=a1＜a2＜…＜an，n≥2）具有性质P：对任意的k（2≤k≤n），?i，j（1≤i≤j≤n），使得ak=ai+aj成立．
（Ⅰ）分别判断数集{1，3，4}与{1，2，3，6}是否具有性质P，并说明理由；
（Ⅱ）求证：an≤2a1+a2+…+an﹣1（n≥2）；
（Ⅲ）若an=72，求数集A中所有元素的和的最小值．
【考点】数列的求和．
【分析】（Ⅰ）利用性质P的概念，对数集{1，3，4}与{1，2，3，6}判断即可；
（Ⅱ）利用集合A={a1，a2，…，an}具有性质P，可分析得到ai≤ak﹣1，aj≤ak﹣1，从而ak=ai+aj≤2ak﹣1，（k=2，3，…n），将上述不等式相加得a2+…+an﹣1+an≤2（a1+a2+…+an﹣1）
即可证得结论；
（Ⅲ）首先注意到a1=1，根据性质P，得到a2=2a1=2，构造A={1，2，3，6，9，18，36，72}或者A={1，2，4，5，9，18，36，72}，这两个集合具有性质P，此时元素和为147．
再利用反证法证明满足S=ai≤147最小的情况不存在，从而可得最小值为147．
【解答】解：（Ⅰ）因为 3≠1+1，所以{1，3，4}不具有性质P．
因为 2=1×2，3=1+2，6=3+3，所以{1，2，3，6}具有性质P …
（Ⅱ）因为集合A={a1，a2，…，an}具有性质P：
即对任意的k（2≤k≤n），?i，j（1≤i≤j≤n），使得ak=ai+aj成立，
又因为1=a1＜a2＜…＜an，n≥2，所以ai＜ak，aj＜ak
所以ai≤ak﹣1，aj≤ak﹣1，所以ak=ai+aj≤2ak﹣1
即an﹣1≤2an﹣2，an﹣2≤2an﹣3，…，a3≤2a2，a2≤2a1…
将上述不等式相加得a2+…+an﹣1+an≤2（a1+a2+…+an﹣1）
所以an≤2a1+a2+…+an﹣1…
（Ⅲ）最小值为147．
首先注意到a1=1，根据性质P，得到a2=2a1=2
所以易知数集A的元素都是整数．
构造A={1，2，3，6，9，18，36，72}或者A={1，2，4，5，9，18，36，72}，这两个集合具有性质P，此时元素和为147．
下面，我们证明147是最小的和
假设数集A={a1，a2，…，an}（a1＜a2＜…＜an，n≥2），满足最小（存在性显然，因为满足的数集A只有有限个）．
第一步：首先说明集合A={a1，a2，…，an}（a1＜a2＜…＜an，n≥2）中至少有8个元素：
由（Ⅱ）可知a2≤2a1，a3≤2a2…
又a1=1，所以a2≤2，a3≤4，a4≤8，a5≤16，a6≤32，a7≤64＜72，
所以n≥8
第二步：证明an﹣1=36，an﹣2=18，an﹣3=9：
若36∈A，设at=36，因为an=72=36+36，为了使得最小，在集合A
中一定不含有元素ak，使得36＜ak＜72，从而an﹣1=36；
假设36?A，根据性质P，对an=72，有ai，aj，使得an=72=ai+aj
显然ai≠aj，所以an+ai+aj=144
而此时集合A中至少还有5个不同于an，ai，aj的元素，
从而S＞（an+ai+aj）+5a1=149，矛盾，
所以36∈A，进而at=36，且an﹣1=36；
同理可证：an﹣2=18，an﹣3=9
（同理可以证明：若18∈A，则an﹣2=18）．
假设18?A．
因为an﹣1=36，根据性质P，有ai，aj，使得an﹣1=36=ai+aj
显然ai≠aj，所以an+an﹣1+ai+aj=144，
而此时集合A中至少还有4个不同于an，an﹣1，ai，aj的元素
从而S＞an+an﹣1+ai+aj+4a1=148，矛盾，
所以18∈A，且an﹣2=18
同理可以证明：若9∈A，则an﹣3=9
假设9?A
因为an﹣2=18，根据性质P，有ai，aj，使得an﹣2=18=ai+aj
显然ai≠aj，所以an+an﹣1+an﹣2+ai+aj=144
而此时集合A中至少还有3个不同于an，an﹣1，an﹣2，ai，aj的元素
从而S＞an+an﹣1+an﹣2+ai+aj+3a1=147，矛盾，
所以9∈A，且an﹣3=9）
至此，我们得到了an﹣1=36，an﹣2=18，an﹣3=9ai=7，aj=2．
根据性质P，有ai，aj，使得9=ai+aj
我们需要考虑如下几种情形：
①ai=8，aj=1，此时集合中至少还需要一个大于等于4的元素ak，才能得到元素8，
则S＞148；
②，此时集合中至少还需要一个大于4的元素ak，才能得到元素7，
则S＞148；
③ai=6，aj=3，此时集合A={1，2，3，6，9，18，36，72}的和最小，为147；
④ai=5，aj=4，此时集合A={1，2，4，5，9，18，36，72}的和最小，为147．…
【含答案 2017年北京高考数学模拟试题】
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