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矩阵乘法怎么算，是谁提出的？

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本文转自周志成的教师博客ccjou.wordpress，美国数学教授莫里斯·克莱恩(Morris Kline)说:“矩阵理论是在被创造出来之前发展和完善的 。”这句话让人迷惑 。要理清词义，必须从矩阵的发展历史说起 。从17世纪到19世纪中叶，数学活动在欧洲各个领域迅速发展 。此时所有关于“数组”(array)运算的研究都集中在行列式理论上，矩阵理论并没有随着行列式而发展 。事实上，矩阵理论落后于行列式两百年 。1850年，英国数学家詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特将矩形阵列命名为“矩阵”，但他没有定义矩阵乘法 。1857年，英国数学家亚瑟·凯莱发表论文《矩阵论实录》，被后人公认为现代矩阵论和线性代数的基石 。他把矩阵从行列式中分离出来，作为另一个数学对象，定义了一个完整的矩阵代数运算 。这段历史说明，矩阵理论中最重要的代数运算——矩阵乘法，绝对不是数学课本上说的那样理所当然 。矩阵乘法的定义隐含着深刻的含义 。不然为什么很多优秀的数学家看不出矩阵应该这样相乘？ 今天，后知后觉，我们已经知道，矩阵代数在19世纪中叶诞生的主要原因是，人们一直无法确定矩阵的本质和作用是什么 。亚瑟·凯利被认为是矩阵理论的创始人 。据我所知，很多高中生发明了各种有创意的矩阵乘法 。比如，有人按如下方式计算两个同阶平方的乘积:无疑，这一矩阵乘法被视为数学无知，认真负责的老师立即将其纠正为之前被老师纠正为“哈达玛乘积”的创造性发明 对于相同大小的矩阵A和B(都是m×n阶的矩阵)，Hadamard积定义如下，所以也称为“entrywise”积 。老师指定的矩阵乘法称为一般矩阵乘积，是目前线性代数采用的“正规”运算方式 。请仔细思考:除非事先设定好矩阵乘积的意义和用途，否则怎么判断这两个乘法是对是错？大部分同学想不出更好的论证，最后只能默默接受这个看似无厘头的定义，并相信老师善意的建议:“大学线性代数会给你一个明确的解释 。” 大学线性代数真的很清楚吗？恐怕不行 与其重复高中数学课本上给出的矩阵乘法的定义，我们不妨想一想Gloria是根据什么思想设计矩阵乘法规则的 。1894年，凯利告诉苏格兰数学物理学家彼得·泰特(Peter Tait)，使他产生矩阵记法的动机不是四元数，而是行列式或为了表达线性方程的方便:我不是从四元数中得到矩阵的概念，而是直接从行列式中推导出来的，或为了表达方程的方便 。1855年，凯利致力于线性构图 。“线性映射”涵盖了很多数学课题，需要解释 。设定义域D和值域R是加法和标量乘法的集合 。我们称f: D→R为线性映射 。如果任意一个x，y ∈ D满足这两个条件:它是标量 。对于一些常见的例子，比如f1(x)=ax的图形是平面上一条过原点的直线，满足线性映射的要求 。但是f2(x)=ax b(b≠0)不是线性映射，是线性映射加平移B，图形显示的是一条不穿过原点的直线 。再比如f3(x，y)=ax by表示三维中通过原点的平面空 。很容易验证f3满足上述线性映射的定义 。微分和积分运算都是线性映射，因为下面的微分和积分规则成立:而且矩阵的转置运算也是线性映射 。考虑f (a) = a t，满足Kelley和Tate的对话，为重构矩阵乘法的发明过程提供了一些线索 。1855年的一天，凯利看着案前的笔记看了很久，笔记本上写着:凯利从小就迷上了解决复杂的数学问题，这两个线性映射困扰了他很久 。几经考虑，他开始计算F和G的复合，整理出一个新的线性映射:凯勒想到这个方程，也许是受行列式的启发，突然想到为什么不用一个数组来表示线性映射的系数？于是他分别把线性映射F，G，H表示出来 。像大多数数学家一样，凯利确信数学的基本形式总是存在的 。观察这三幅线性地图的阵列表情，让他更加坚定了自己的信念 。光荣的格洛里亚大胆设想H是F和G的复合(或乘积)，他要做的就是将矩阵F和G“相乘”，然后使矩阵乘积FG等于H，于是他兴奋地写下了矩阵乘法的运算规则 。也许凯利特别幸运，也许他的数学直觉特别敏锐，但无论如何，他给了矩阵乘法一个自然而有用的定义 。凯莱的基本思想是用矩阵乘积表示线性复合映射，但他并不是第一个考虑线性复合映射的数学家 。早在1801年，卡尔·弗里德里希·高斯(Carl Friedrich Gauss)就曾使用过这种复合计算，但高斯并没有将系数以数组的形式记录下来 。对于许多数学家来说，矩阵乘法并不是一个巧妙的发明 。Kelley把线性复合映射和矩阵乘积联系起来的工作是无足轻重的，因为他既没有解决难题，也没有证明伟大的定理 。然而，矩阵和乘法的发明表明了设计良好的符号的重要性，同时也指出了一个一些数学家不愿意承认的事实:看似平淡无奇的表达式符号，可能是应用广泛的重要理论的萌芽条件之一 。最后，历史证明凯利非凡的洞察力为矩阵理论和线性代数的发展打开了一扇大门 。
【矩阵乘法怎么算，是谁提出的？】

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