大家好，我是专升本数学学霸，这次我们来讨导数的定义及其几何意义、与连续性的关系以及函数的求导法则 。那你知道导数的定义及其几何意义、与连续性的关系以及函数的求导法则呢？没关系，学霸来帮你来了 。
谈论导数之前，我们先看看两个例子：
直线运动的速度①取从时刻 t0到t这样一个时间价格，在这段时间内，质点从为止S0=f(t0)移动到s=f(t); (s-s0)/t-t0=f(t)-f(t0)/t-t0,质点的平均速度 。②瞬时速度v=lim ( (f(t) )-(f(t0) )/(t-t0) ) (t→t0)切线问题设有曲线C及C上的一点M，在点M外另取C上一点N，作割线MN 。当点N沿曲线C趋于点M时，如果各项MN绕点M旋转而趋于极限为止MT，直线MT就称为曲线C在点M处的的切线 。
tan θ=（y-y0）/(x-x0)=(f(x)-f(x0))/(x-x0)
斜率k=lim (f(x)-f(x0))/(x-x0)（x→x0）
一、导数的定义
设函数 y=f(x)在点x0的某个领域内有定义，当自变量x在x0处取得增量△x（点x0+△x仍在该邻域内）时，相应地，因变量取得增量 △y=f(x0+△x)-f(x0)；如果 △y与△x之比当△x→0时的极限存在，那么称函数y=f(x)在点x0处可导，并称这个极限为函数y=f(x)的在点x0处可导，并称这个极限为函数y=f(x)在点x0处的导数，记为f'(x0),即
也可记住
二、导数的几何意义
曲线在点（x0，y0）的切线方程：
曲线在点（x0，y0）的法线方程：
注：曲线的 切线方程的斜率 与 曲线的 法线方程的斜率 互为负倒数
三、函数的可导性与连续性的关系
设函数y=f(x)在点x处可导，即
存在 。由具有极限的函数与无穷小的关系知道
其中α为当 △x→0时的无穷小，上式两边同乘 △x 得
当 △x→0时，△y→0 。函数yy=f(x)在点x处是连续的 。所以，如果函数y=f(x)在点x处可导，那么函数在该点必连续 。
【导数的定义及其几何意义 导数公式】四、函数的求导法则
①函数的和、差、积、商的求导法则
和、差： （u ± v）’=u’± v’
记：和、差的导数分别求导，再和、差 。
积：(uv)=u' v+u v' ，(Cu)'=C u'(C为常数)
简记：乘积的导数是 前导后不导加上后导前不导（前是指 乘积中的第一个因子，后是指 乘积中的第二个因子） 。
商：(u/v)'=(u' v-u v') / v^2 （v不等于0）
简记：商的导数是 子导母不导 减去 母导子不导 最后 除以 分母的平方（子 指分子，母指 分母） 。
②反函数的求导法则
如果函数 x=f(y)在区间I内单调、可导且f '(x)≠0，那么它的反函数在反函数的区间内也可导，且
记：反函数的导数 等于 原函数的导数的倒数
③复合函数的求导法则
如果u=g(x) 在点x可导，而y=f(u)在点u=g(x)可导，那么复合函数 y=f[g(x)]在点x可导，其导数为
记：复合函数的导数 等于 一层一层往里面求导，再乘积 。
例如 (sin nx)'= n cos nx
④常用的导数公式
（1）( C )'=0
（2）(x^u)'=u x^(u-1)
（3）(sin x)'= cos x
（4） (cos x)'=-sin x
（5）(tan x)'= sec(^2) x
（6）(cot x)'=-csc(^2) x
（7）(sec x)'=sec x ·tanx
（8）(csc x)'=-csc x cot x
（9）(a^x)'=(a^x) · ln a
（10）(e^x)'=e^x
（11）
（12）
（13）
（14）
（15）
（16）
不要怕，学霸来帮你来了，这几个有口诀可以帮助记忆：
口诀：
常为零，幂降次，对倒数，
指不变，正变余，余变正，
切割方，割乘切，反分式 。
口诀含义：
常数的的导数为零 。
幂函数的导数是指数减一，在把原指数做系数 。
对数函数的导数是倒数 。
指数的导数不变，在乘以 ln a 。
正弦函数变余弦函数，余弦函数变正弦函数 。
正切和余切的导数分别是正割的平方和余割的平方 。
正割和余割的导数分别是 正割乘以正切 和 余割乘以余切
反三角函数的导数都是分式 。
五、高阶导数
一般地，函数y=f(x)的导数 y'=f'(x)仍然是x的函数 。我们把 y'=f'(x)的导数叫做函数y=f(x)的二阶导数，记作 y'' 或
f'(x)叫做f(x)的一阶导数，一阶导数的导数是二阶导数，二阶导数的导数是三级导数 。
...一般地，（n-1）阶导数的导数叫n阶导数 。
y', y'' ,y''', y^(4), . . . . . .y^(n)
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