特征向量正交什么意思
对称阵不同的特征值对应的特征向量是相互正交的 。矩阵的特征向量是矩阵理论上的重要概念之一 ， 它有着广泛的应用 。数学上 ， 线性变换的特征向量（本征向量）是一个非简并的向量 ， 其方向在该变换下不变 。该向量在此变换下缩放的比例称为其特征值（本征值） 。
一个线性变换通常可以由其特征值和特征向量完全描述 。特征空间是相同特征值的特征向量的集合 。“特征”一词来自德语的eigen 。1904年希尔伯特首先在这个意义下使用了这个词 ， 更早亥尔姆霍尔兹也在相关意义下使用过该词 。eigen一词可翻译为”自身的”、“特定于……的”、“有特征的”、或者“个体的” ， 这显示了特征值对于定义特定的线性变换的重要性 。
特征向量已正交什么意思对称阵不同的特征值对应的特征向量是相互正交的 。矩阵的特征向量是矩阵理论上的重要概念之一 ， 它有着广泛的应用 。数学上 ， 线性变换的特征向量（本征向量）是一个非简并的向量 ， 其方向在该变换下不变 。该向量在此变换下缩放的比例称为其特征值（本征值） 。
一个线性变换通常可以由其特征值和特征向量完全描述 。特征空间是相同特征值的特征向量的集合 。“特征”一词来自德语的eigen 。1904年希尔伯特首先在这个意义下使用了这个词 ， 更早亥尔姆霍尔兹也在相关意义下使用过该词 。eigen一词可翻译为”自身的”、“特定于……的”、“有特征的”、或者“个体的” ， 这显示了特征值对于定义特定的线性变换的重要性 。
为什么特征向量单位化后是正交矩阵1、因为特征向量的正交化是局限在同一特征值的特征向量 ， 特征向量是对应齐次线性方程组的解 ， 所以特征向量的非零线性组合仍是特征向量 。正交化所得向量与原向量等价 ， 所以仍是特征向量 ， 由此可知单位化后也是特征向量 。
文章插图
2、特征向量定理：
谱定理在有限维的情况 ， 将所有可对角化的矩阵作了分类：它显示一个矩阵是可对角化的 ， 当且仅当它是一个正规矩阵 。注意这包括自共轭（厄尔米特）的情况 。这很有用 ， 因为对角化矩阵T的函数f(T)（譬如波莱尔函数f）的概念是清楚的 。
在采用更一般的矩阵的函数的时候谱定理的作用就更明显了 。例如 ， 若f是解析的 ， 则它的形式幂级数 ， 若用T取代x ， 可以看作在矩阵的巴拿赫空间中绝对收敛 。谱定理也允许方便地定义正算子的唯一的平方根 。
扩展资料：
1、共轭特征向量：
一个共轭特征向量或者说共特征向量是一个在变换下成为其共轭乘以一个标量的向量 ， 其中那个标量称为该线性变换的共轭特征值或者说共特征值 。共轭特征向量和共轭特征值代表了和常规特征向量和特征值相同的信息和含义 ， 但只在使用交替坐标系统的时候出现 。
例如 ， 在相干电磁散射理论中 ， 线性变换A代表散射物体施行的作用 ， 而特征向量表示电磁波的极化状态 。在光学中 ， 坐标系统按照波的观点定义 ， 称为前向散射对齐 (FSA) ， 从而导致了常规的特征值方程 ， 而在雷达中 ， 坐标系统按照雷达的观点定义 ， 称为后向散射对齐 (BSA) ， 从而给出了共轭特征值方程 。
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