无理数包括哪几种无理数包括哪些数?

无理数是什么包括什么数无理数,也称为无限不循环小数,不能写作两整数之比。若将它写成小数形式,小数点之后的数字有无限多个,并且不会循环。常见的无理数有非完全平方数的平方根、π和e(其中后两者均为超越数)等。
为你想象不到人类为了证明π是无理数用了数千年我们都知道圆周率π,π的定义是一个圆的周长和这个圆的直径的比值。
π=圆周长:直径
圆周长=直径×π=2R×π=2πR
我国古代著名数学家祖冲之利用割圆术将π精确计算到小数点后第7位,这种精度领先西方数学500多年。
3.1415926<π<3.1415927
大约在2000多年前,人们就已经发现了圆周率π 。从直觉上来看,π显然应该是一个无理数,也就是一个无限不循环小数。但直觉是不靠谱的,我们必须严格证明才能真正地让所有人信服。为了严格证明π是无理数人类用了整整2000多年的时间!
接下来我们就来探讨一下如何严格证明π是无理数。
圆周率π
首先我们需要了解在实数范围内,除了有理数就是无理数。也就是说,有理数集Q和无理数集的交集是空集?,并集是实数集R 。
有理数是指有限小数或无限循环小数,这里将整数视为有限小数。所有的有理数都可以写成既约整分数的形式,这里将整数视为分母为1的分数。所谓既约整分数就是指分子分母都是整数并且约到最简的分数。
若a∈Q,则a=m/n,这里m、n∈整数集z,且(m,n)=1,n≠0 。这里符号(m,n),代表正整数m和n的最大公约数,若(m,n)=1,则称m和n互质。
无理数是指无限不循环小数,任何无理数都不能写成两个整数相除的分数形式。
接下来我们介绍连分数的概念

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连分数
我们把形如上图形式的分数称为连分数,这里a0,a1,a2,a3,……,都是整数。
可以证明任何一个有理数都对应某一个有限连分数,任何一个无理数都对应某一个无限连分数。这里证明从略。
例如有理数3.245的有限连分数如下:
无理数√2的无限连分数如下:

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无理数无限连分数
黄金分割数(√5-1)/2的无限连分数很有意思:

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【无理数包括哪几种无理数包括哪些数?】黄金分割数无限连分数
1761年,瑞士数学家兰伯特受此启发,历史上第一次给出了π是无理数的严格证明。
他首先证明了正切函数tan(x)可以表示成类似无限连分数的无限连分函数形式:

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正切函数无限连分函数
利用以上结论,兰伯特进而证明了:如果x是非0有理数,那么tan(x)必然是无理数。这个结论非常有意思,证明过程有些繁杂,这里略去不讲,有兴趣的朋友可以进一步了解一下。
特别注意:这个结论只说了“如果x是非0有理数,那么tan(x)必然是无理数”;并没有说“如果x是无理数,那么tan(x)必然是有理数” 。这里一定要区分开来。
有了以上基础理论,接下来我们就可以利用反证法来证明π是无理数了。
求证:π是无理数
证明:假设π是有理数
显然π/4也是有理数,且π/4≠0
我们有结论:如果x是非0有理数,那么tan(x)必然是无理数
所以tan(π/4)是无理数
tan(π/4)=tan(45°)=1是有理数
与tan(π/4)是无理数矛盾
说明假设“π是有理数”错误
所以π是无理数
证毕!
这个证明过程简洁清晰、逻辑缜密,堪称反证法应用的经典例证,真是让人赏心悦目。
至此,人们终于严格证明了π是无理数,后来人们还采用了构造函数、微积分等多种方法证明了π是无理数。但相比而言,兰伯特给出的证明方法更加符合数学的极致美学。
最后再给出几个关于π的美妙结论,结束今天的学习。