爱刨根知识网

  1. 首页 > 经验知识 > >

微分方程的阶是什么意思

生活经验微分方程

微分方程的阶是什么意思
微分方程的阶数是微分方程中导数的最高次数 。
微分方程，是指含有未知函数及其导数的关系式 。解微分方程就是找出未知函数 。
微分方程是伴随着微积分学一起发展起来的 。微积分学的奠基人Newton和Leibniz的著作中都处理过与微分方程有关的问题 。
微分方程的应用十分广泛，可以解决许多与导数有关的问题，物理中许多涉及变力的运动学、动力学问题，如空气的阻力为速度函数的落体运动等问题，很多可以用微分方程求解，此外，微分方程在化学、工程学、经济学和人口统计等领域都有应用 。
微分方程的阶 麻烦用大白话解释下 昨天提问的不知道哪里去了 小弟在此感激不尽微分方程中所含未知函数的导数的最高阶数叫微分方程的阶
说白了就是打着几个瞥就是几阶微分方程 。要注意的是，导数除了用打瞥来表示还可以用dy比dx表示 。比如最高出现d方y比dx方是二阶导数，对应的是二阶微分方程，如最高出现（dy比dx）整体的平方是一阶导数的平方，是一阶微分方程 。即d^2y比dx^2是二阶导，（dy比dx）^2是一阶导 。要是这个搞明白了，阶的概念就没问题了 。
流线的微分方程式是什么17世纪就提出了弹性问题，这类问题导致悬链线方程、振动弦的方程等等 。总之，力学、天文学、几何学等领域的许多问题都导致微分方程 。20世纪以来，随着大量的边缘科学诸如电磁流体力学、化学流体力学、动力气象学、海洋动力学、地下水动力学等等的产生和发展，也出现不少新型的微分方程（特别是方程组） 。
在当代，甚至许多社会科学的问题亦导致微分方程，如人口发展模型、交通流模型…… 。因而微分方程的研究是与人类社会密切相关的 。当初，数学家们把精力集中放在求微分方程的通解上，后来证明这一般不可能，于是逐步放弃了这一奢望，而转向定解问题：初值问题、边值问题、混合问题等 。但是，即便是一阶常微分方程，初等解(化为积分形式)也被证明不可能，于是转向定量方法（数值计算）、定性方法，而这首先要解决解的存在性、唯一性等理论上的问题 。
70年代随着数学向化学和生物学的渗透，出现了大量的反应扩散方程 。从“求通解”到“求解定解问题”
数学家们首先发现微分方程有无穷个解 。常微分方程的解会含有一个或多个任意常数，其个数就是方程的阶数 。偏微分方程的解会含有一个或多个任意函数，其个数随方程的阶数而定 。命方程的解含有的任意元素（即任意常数或任意函数）作尽可能的变化，人们就可能得到方程所有的解，于是数学家就把这种含有任意元素的解称为“通解” 。在很长一段时间里，人们致力于“求通解” 。但是以下三种原因使得这种“求通解”的努力，逐渐被放弃 。

微分方程的阶是什么意思

文章插图
什么是n阶线性微分方程方程
dy/dx+p(x)y=q(x)
?
叫做一阶线性微分方程(因为它对于未知函数及其导数均为一次的) 。
如果
q(x)恒等于0
，则方程称为齐次的；
如果
q(x)不恒等于零，则方程称为非齐次的 。、
例如(1+x^2)dy=(x+y)dx
dy/dx=（x+y）/(1+x^2)=x/(1+x^2)+y/（1+x^2)
dy/dx-y/（1+x^2)=x/(1+x^2)
p(x)=-1/（1+x^2)
q(x)=x/(1+x^2)不恒等于0
所以是一阶线性非齐次方程
什么是一阶微分方程首先要明白微分方程中的阶的意义：一个微分方程中含有的导数或微分的最高阶数,就叫做这个微分方程的阶.如y"+xy=ysinx就是二阶微分方程了.一阶微分方程就是指只有一阶导数或微分的微分方程.数学中的线性运算是指加减或乘以常数的运算.而在微分方程中,自变量对未知函数y而言相当于常数,微分方程中的线性是指未知函数y和它的各阶导数或微分只有加减或只是乘以自变量或自变量的函数.而未知函数y和它的各阶导数或微分之间没有相乘或其他形式的运算或函数形式.最终都可以化为形如dy/dx ＋p(x)y=q(x)的微分方程就叫做一阶线性微分方程,其中p(x),q(x)可以是自变量的任意函数.q(x)恒为零,则式子为一阶线性齐次方程,否则为一阶线性非齐次方程.因此齐次方程与非齐次方程是一阶线性微分方程的两大分类,一个一阶线性微分方程不是齐次方程就是非齐次方程.至于伯努利方程,实际上是一种非线性的一阶微分方程,但是经过适当的变量变换之后,它可以化成一阶线性方程.要转化之后才是一阶线性方程,因此你提问中的说法也是不对的,不是“一阶线性微分方程中,除了……和伯努利方程之外”,因为伯努利方程不在一阶线性方程中.

推荐阅读


上一篇：新宜吉归新余管吗

下一篇：自然日和工作日的区别，120天和120自然日的区别