按规定，法院提请死刑复核的程序应该如下进行：
1、中院判处死刑的第一审案件，被告人没上诉、检察院没抗诉的，在上诉、抗诉期满后会在十日内报请高院复核 。高院同意判处死刑的，就会在作出裁定后十日内报请最高人民法院核准 。要不同意的 ， 会依照第二审程序提审或者发回重新审判 。
2、中院判处死刑的第一审案件，被告人上诉或者检察院抗诉，高院裁定维持的，会在作出裁定后十日内报请最高人民法院核准;
3、高院判处死刑的第一审案件，被告人没去上诉、检察院也没抗诉的，需要在上诉、抗诉期满后十日内报请最高人民法院核准 。
【法律依据】
【死刑复核程序怎么进行】《刑事诉讼法》第二百五十条最高人民法院复核死刑案件，应当作出核准或者不核准死刑的裁定 。对于不核准死刑的，最高人民法院可以发回重新审判或者予以改判 。
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